闲聊教育（5）

                       ——中学数学的“工具功能”

对于中学数学，很多人一方面承认它是人类不可少的工具；另一方面，又有人觉得在中学所学的那么多数学知识没用场。以至有人认为“数学”仅是“入大学的敲门砖”！于是，没能升上大学则甚至认为“白学了”，考上大学的，后来则说都还给老师。若从这些话想去，中学数学没有“工具功能”，其实不然！。

现代数学与社会生产生活关系极其密切，在很多情况下，人们虽用了数学观念或数学方法来解决问题，但自己却不觉得,如现在的互联网、电脑、都是以数学为其重要工具而产生的，人们上互联网，用电脑，只是按键，并无高深的数学，因这只是间接地利用数学为工具，不是直接用。数学的工具性多数是间接的，故数学融于人的思维之中，成人的思维能力后`，如同融于互联网与电脑的数学一样。但没有融入数学知识的人脑就是没有那种功能`

故以为数学的“工具作用”在于会做教科书中编的各种数学题，特别是高、中考的数学题，这是非常片面的看法！把知识融化更重要。

其实，在中学时学数学时做那些数学题，仅是起深刻理解数学原理、定理、法则等，避免死记硬背其词句而已。用这种题来考试，也仅是测量考试对象对数学知识体系掌握状况，从而使数学知识技能“转化`”自己的认识能力与实际工作能力之中，就会像将互联风电脑等将数学知识转化互联网及电脑的功能一样，形成自己`一定素养。会在将来要作中自然地发挥其作用。

那种“解答”数学题，会遇到。而测量、统计、会计这种职业会天天与计算打交道；而上述几类职业的“解题”或计算的目的要求，复杂性，难度则比课本要求有别，实用的要求高得多。

故对于在校学生而言，他的目标是理解掌握所学知识，解数学题是手段。具体数学内容忘记了，因对知识有理解，查一下资料找出便会用。而对数学知识有较深的理解便会在日后的生产实践活动中很自然地当“工具”用上，以至创造性地用上。

我在《中学数学之道术美》的序文里，就数学工具性写发下面文字：

“数学之术使人们在生产、生活、科研等方面能‘心中有数’、‘心中有谱’、‘行为有章’。这些数学知识因被理解后，便融化于人的思维之中，形成其思考的依据。”

在论述其“工具性”的第二章“数学之术”的一开头概述了以下一般性道理：

因为数学能提供的数据，从而可以使人通过数学方法数据来表示“事物的量”、“事物的质”以至其“变化的规律”，从而使人对事物的量及质（包括变化）“心中的数”。

数学提供的数学表达式、数学模型，而能以使人对物及其变化形态，有“数学形式的谱”；于是 心中有谱做事，在旁观者看来就能“一步一个脚印，有条不紊”于是产生这种办事“靠谱”的感受。

数学之术的一整套探索研究套路，沉淀成数学习惯。我认为这是非常好的习惯，可以说是探索研究的“行为之章”

所以，我在《中学数学之道术美》一书中提出民“数学之术”有使人“心中有数”，“心中有谱”、“行为有章”工具功能。

我在该书初稿时曾准备用“心中有数”，“心中在谱”、“行为的章”这三个小标题来分别叙述“数学之术”。但那样写，显得乱；于是放弃那种写法。

从总体看去，做事用了“数学之术”效果会好些，失败机率小些等等，而且这已为社会公认。于是“数学之术”可称“善之术”，只是这里的“善”不是“慈善”，而是“公欲善其事”的“善”。于是从这意义上数学之术的目标是“善”。

需要说明的是数学与善关联的观念不是我原创。最早提出此论点的是在两千三百年前的柏拉图。后来很长历史时期，没受到数学家的重视，从而进一步发展。到20 世纪，著名数学哲学家怀特海在《数学的模式性》里进一步论述了数学的善的意义，才使数学的善被数学界逐步认识。 他认为，数学是人类思想宝库的一部分。数学式表达是人类理性来分析的模式；它追求终极之善。

综上，“数学之术”的功能是什么，我认为就是使人“心中有数”，“心中有谱”，“行为有章”下面就分别用“心中有数”、“心中有谱”、“行为有章”来分别略述。

一，心中有数

“心中有数”是成语。请注意这成语这里用数(shù)目“数”而不是用素(sù)质的“素”.新华字典的解释是：“对情况和问题有基本的了解，处理事情有一定把握”。这里没把情况和问题的“什么”有“基本的了解”当然是指对数与质的了解，而成语用“数”来表达真了不起。因现今实际生活中，人们对“数量”与“质量”都可以用数来表示。于是人们在社会交往中，心中的“数”，其根本则来自数学。

（1）“计数”、“数记”

“计数”用自然数表达物的个数方法称之为“计数”,这是最基本数量了了解， “计数”,实为将1，2，3，4,5……地数物开始，也是人用数学于生产生活的开始。数学中的“数”由自然数扩大有理数实数后用数来记物，现在由于义务教育的实施除属智残病人外，不会“计数”的人没有了。幼儿园就学会计数，会计数便能从数量上把握问题各情况。

现在的“计数”除自然数外，还有用“负数”，“小数”、“分数”来记数，光会数个数（即认识自然数）是不行的，必须会算！于是各种数学运算法则等，在使人会计数和理解该数的意义上打起基础作用，就现在而言，有计算器的帮助，只要理解各种运算意义，不需动笔算，按相应键就行。但“计数”的“数”仅表示对应物的量（多少）而不表示对应物之“质”——多少什么？

“数记”用数码记物，称之“数记”， 是人们反过来用计数技术，即将某一具体物，人为地定义与某具体数码与之对应。这实为用数码来记物。

如开运动会，将每个参赛的运动员编定一个“号码”，用这号码来“记”住人。人名不好记忆，印在动动衫上，对裁判与观从识别非常方便。现在这种技术广泛地得到应用，如图书编号、电话号码，身份证号码，银行卡号码及各种密码等等。这（2）与（1）是有差别的，它除记了物的量也“隐含质”，如身份证的18个数码，含有持有者的诸多个人信息；因是隐性，故有保密性。

“数记”与数码及数学中排组合相关联，故是来自数学的技术。现在种技术广泛地进入社会生产与生活了。

（2）用数字表物之“质”

“数字”不仅能表示量的多少，而且能表示质的好坏，是使人“心中有数”更重要的功能 。这功能是数学中的四则运算、百分数，乘方、开方、对数，等运算相关，并与其他科结合而出现技术。是现在这种技术，广泛地用于各种管理。

如食品包装中的标签中农药残存数据，蛋白质、淀粉等含量等数据便是表示食品质量的数。到医院检，查身体，身体健康状况也是一系列数据也都清楚明白地写出，医师，及接受体验人自己可据这些数据来判定你身体健康状况。这些数据并不需要购物人或体检人自己与算，只要理解基表示“质”的意义就行。

社会经济发展水平的“质”也用数来表示的便是总GDP值与人均GDP值。。

现在用数字来表示“质”广泛地为人们所接受。这“数字”是数学方法渗透其他学科学的成果，故其根来源于数学。

可以这样地说：说现在不论是实在的物，还是抽象的事件，人们都爱用数据表示质。

为什么世界范围内都认同用数来表示“质”。各国词汇中都的表示质的对应词与语言，为什么不用？

首先`“数”唯一的冷冰冰的理性“词汇”。按公认算法，任何人去算，都是那数值，而且都是阿拉北字母加符号表示不用翻译，全世界人都认得，都承认`。

其次，不是那数值便属错误。不存在张三说“好得很”，而李四说“糟得很”，于是不会出现那种决断不了的尴尬局面。

上述使人心中有数的数学技术，本人那本小册《中学数学之道术美》的第二章有较多举例。

现在的现实，也是绝大多数人都在努力使自己心中有数了，比如谈到自己身体状况会以血压等数据来左证。

二，心中有谱

“心中有谱”还未成为“成语”，但属很常见短语，如“心中有谱，脚下有路”等等。我的“心中有谱”是取老百姓口语中评论“办事”“靠谱”与“不靠谱”中的“谱”。通常给以办事“靠谱”与“不靠谱”的评价，应是从办好此事所需的人力与物力的估计与办好此事具有的人力与物力时间条件等等而做出判断。

办任何一件事，都会需要一定时间，而要做好（有绩效）这件事，不仅与投入时间、自己能力，还有诸如人力、物力、可行性、必要性等许多其他因素的了解与处理相关。于是，“做好`”不仅与自己能力、所花时间相关联，而且还有其他多种“因素”有事先有估计处理相关，有较可行方案。用数学语言表达则是：工作绩效是多元函数。但在中学数学里，主要是学习一个变量的函数。如是中学数数学中函数：正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数，一次函数、二次函数等却给出了相应的谱的探求的途径。

这些初等函数虽仅从研究两个变量间相依关系出发的方法，将一元函数表达式中有系数（常数）视为变量，加上现在加入的概率统计初步，微积分初步，便可由“心中有数”进入到相应工作中与各相关因素的“一连串”数据，便可`成为相应的工作的“谱”。

如函数y=ax+b，（通常把a、b视为常量）便 是这样a、b值则表在不同条件下x与y间的变化的近似“谱”,这谱实是人们用数学方法得出的要做好这件事的准备工作，在人力、物力等等方面的一系列数字，心中必须有这“谱”。若属更大的工事，还得对其做的过程中以至完工后会有哪些变化等等有相应的谱。

心中有这谱才可制实施计划与方案，而成为工作的“谱”，当然在实施中，谱中数据还可以修改。

在中学数学里，函数是非常重要内容，而各种函数实为理想状态下事物相互关系的谱。若能把X与Y变化的相依性“平移”到对实在的两事物，那就开始这间种“谱”的立足，然后向走，那谱就会走入心中了。

在中学教材中的在在中学函数，还就其一般变化做了概括：递增、递减，最大值最小值。函数的定义域，值域等

于是与心中有数而言，心中有谱就对数学思维与方法的修养的要求高得多。不是很多人都能主动地用。多数是被动的用，仅就正比例与反比例关系而言。世间万物并非只正比例关系，还存要反此例关系，比如肥料谷物产量关系在一定限度内，是正比例，超过限度就是反比例了。成语有“物极必反”这“很”原则，“极”在哪里？不知道！而使用了数学方法，那“极”，即“谱”（数据）便出来了。于是当心中有一连串数据的这种谱，办事就是“心中有谱”了！

三，行为有章

对于数学科而言，老师的教必须“行为有章”。这便是教师必须从毫无争议的概念出发，按数学逻辑得出法则与定理。而要求学生的“行”——做数学做业也 步骤清楚，每一步都合数学“章法”，即先有审题，后有验算。在每步都有数学法则呀定理的依据。所有学生在学数学时，从老师的教，与自己的做作业都经过这种“行为有章”训练。

从数学教育的效果看去，令人失望的是，数学中的这种“行为有章”是乎很少有人提出要将其“平移”到其他领域的工作上去。

其实在日常生活中，思考“放野马”，因野马只在自己脑子里“跑”，踩不着别人，无所谓`但“行”就不同，做任何事都不能随心所欲。所谓“行有行规”，且“不依规矩不成方圆”。因为“行”必然涉及他人而行不通的可能`。故“社会人”的行也是应有其章法，即按“行规”行事。只是就“行规”不同于数学的“章法”，为大多数人认同，以至全世界认同。有的行规甚至是只从非常小范围人利益而定的`，被认为是应废除的“恶规”。而社会群体间矛盾冲突，在于“这行规”与“那行规”相互排斥而产生。

就数学而言，它的`的“章法”是不断在不数完善过程中。不是一开始就有现在样子`。所以我在〈中学数学之道术第美〉一书有的第二章最后一节以“修正自身理论缺陷克服危机”为标题写了一小节，用数学发展史来论证自己这方面的见解。

现概述如下

数学的第一次危机产生于古希腊（约公元前580～约前500）。那时的毕达哥拉斯这位了不起的数学家。坚信“宇宙间的开始现象都可以归结为整数可或整数的比”，克服此危机而产生了无理数，后又超越数、虚数而发展成复数体系

数学的第二次危机产生于十七世纪的数学巨人牛顿与莱布尼兹建立的微积分学。应该承，牛顿与莱布尼兹最初对其表述是不严格的，存在着明显的逻辑矛盾。后来柯西与魏尔斯特拉斯等，将微积分的逻辑基础进行改进；从而克服了第二次危机，并迎来了数学从此的飞速发展。

第三次数学危机发生在19世纪末。这时微积分以严格的实数理论为基础，而实数理论又以康托的集合论为基础，1902年罗素揭开了康托集合论会产生悖论的盖子，而使数学再次陷入危机之中。同前两次一样，数学仍是接受挑战，修正自身理论的漏洞。到1983年终于建立起了公理化的集合论。而完善了集合论，从而克服了第三次危机。

数学的理论或说方法之所以成为世界公认，无争议，我认为它能在发展过程中不断克服其理论解释不了的问题，从而修正并补充使之完善是关键所在。

数学是纯理性思思维。在他那里没有浪漫“情怀”，只有“一是一；二是二”。

人文学科的理论与方法上因面对的是有独立思考的人，而人既承认是独立的就都有其独特之处。于是科学发的现今，人文科学的产生的“观念”（理论）派系多，与自然科学不同的是派系间观念不相融，以至互不认可则是现实。但就各种观念产的“道德”、“法律”看还是有相同点；当然，不同点还不少。“观念”相同，可互相促进，不同则“交往”受阻。不交往惠顾论上`双方应都应同等受损。仅从国际贸易看，从十九世纪以来世界贸易交往看，双方不是“半斤对八两的”的受损。采取闭关自守的民族自身发展便受影响显得大些`，而在一国之内，凡闭塞不与外界交往的地区，其发展水平便低于能与外界交往的地区也是公认的现实，这些地域限与观念的两重束缚。我国改革开放、因“解放”了思想，山川阻隔虽还在，但边远山区人用两只脚也敢于外出“务工 ”，情况就变了。于是我老家的朱才冲，这有名的穷山沟，在本世纪也出现了用现代建筑材料建的两层以至三层的小楼房。这种楼房的出现，是朱才冲人的一世祖在明代中其迁入，到上世纪末四百多年都未出现的破天荒的大事，没有在朱才冲造房的朱才冲后人，在城里购的房，比朱才冲建的房更好些。

由此可见流动与交往对自身发展的重要性。

对人类交往，自然层面的山川的阻隔，用发展交通事业来解决。但阻碍交往的观念，从历史看去，克服难度显然大得多。

山川是物，人为万物之灵；现在流行办法是是让山川“屈服”：挖土、填穴、打洞、修路、修桥等等——当然现在，也有研究表明对自然“太蛮”会受自然的惩罚，而这惩罚甚至是大面积地区的灾难；但这研究只是提醒，要求自然屈服要慎重，且仅此而已。

“观念”阻碍不是来自“物”，而是人群！用将阻碍的一方“屈服”常常行不通。即不仅解决不了问题，以至社会矛盾加剧的历史多的是。

即使是在同一国内观念相抵，也要用建立双方认可观念取代对立的旧观念。如为了建设有需要的撤迁便是。

国际层面观念相抵那更复杂。二战后出现了联合国这种国际组织。联合国也制定了得到诸多成员国承认的各种宣言与公约。二战后国际交往有新局面；说实话：这些宣言、公约只能算走向共识的开始，它约束力远低于各国的法律；更抵不上数学的法则与定理对数学的“行”的作用。

故面对观念的阻隔，解决的难度就大了，不过一般公民不会面对解决这种难题。

一般公民做也本工作用的“行为有章”很简单：一，遵守法律法规，二，遵守业务的操作规定程。这种行，就如当年学数学时做数学作业一样，这便是我说的属一般公民的“行为有章”。